Действительно ли этим исследователям удалось обнаружить скрытые доселе источники математического творчества, которые непосредственным образом связаны с философскими представлениями, лежащими в основе имяславия (в духе номинализма)? Действительно ли математическое творчество Лузина и его последователей питалось нетривиальными идеями имяславия, которое возникло среди афонских монахов в начале ХХ в. и получило – несмотря на отчаянное сопротивление высших православных иерархов – некоторое распространение среди монашества и интеллигенции, а затем новым советским режимом было окончательно искоренено каленым железом? Если ответы на данные вопросы положительны, то одна из сторон дискуссии, признающая факт решающего воздействия философских идей на развитие науки, получает весьма веские аргументы в свою пользу.
Вряд ли можно отрицать факты влияния (при определенных условиях и в определенные периоды) философских идей на генезис и развитие научных концепций. Более того, с утверждением о том, что религиозность носителей научного знания (Егорова и Лузина) в определенной степени способствовала развитию математики, можно согласиться. Но только в той его части, которая касается влияния религиозного мировоззрения на формирование личностных качеств ученого (прежде всего, благодаря их своеобразной академической «аскезе» и преданности предмету, самоотверженному труду, вере в конечный результат и мужеству противостояния тоталитарному государству и нечистоплотным
коллегам), необходимых для проведения упорного исследования. Другое дело – переложение идей имяславия на математический язык. Это суждение более чем сомнительно. Между тем идея Грехэма и Кантора о том, что имяславие сыграло решающую роль в разработке Лузиным и его учениками дескриптивной теории множеств, идея, безусловно центральная в их книге, представляется нам красивой,
элегантной, притягательной, но настолько красивой и притягательной, насколько и ошибочной. Увы, далеко не всякая красивая идея имеет шанс соответствовать истинному положению вещей. Совсем недостаточно высказать идею и тем самым присвоить имя некоторому событию и/или множеству вещей
с тем, чтобы это событие и/или множество вещей приобрели модус реального существования. Именно в этом процессе, который относится к аналогиям между посылкой имяславия (имя Бога есть сам Бог) 5 и процедурами получения так называемых именованных (и иных) множеств в работах Лузина,
Грехэм и Кантор усматривают основание для утверждений о том, что религиозный мистицизм оказался в высшей степени эвристически насыщенным и плодотворным в случае Московской математической школы. Речь идет о том, что некоторые семейства множеств создаются посредством определений (акт «творения» математиками множеств), а имяславцы творят Бога посредством поклонения его имени.
Постараемся привести аргументы в пользу того, что в данном случае философская
по своей сути идея (выраженная в имяславии) в реальности для создания дескриптивной теории множеств Лузиным сколько-нибудь важного (или вообще!) значения не имела.

Эта недавно вышедшая на русском языке книга Л. Грэхема и Ж.-М. Кантора – не первая их работа по истории русской науки, позволяющая взглянуть со стороны на процессы, происходившие в культурном и научном мире России и Европы. Книга посвящена связи религиозных течений начала XX в. с русской математикой. Авторы исследовали огромный материал, посвященный научной жизни Франции и России последней трети XIX – первой трети XX в., а также имяславию, возникшему как религиозное течение в 1907-м и подвергшемуся репрессиям в 1913 г. В это время в мировой математике происходили коренные изменения, ставшие следствием создания в последней трети XIX в. Г. Кантором теории множеств. Она позволила математике приобрести свободу фундаментальной науки, освободила ее от зависимости от прикладных наук. Прежде все понятия математики имели непременную связь с геометрией, физикой, механикой. Теория Кантора дала возможность формулировать новые понятия, обусловленные внутренней логикой математики, ее языка.

Полный вариант статьи читайте  в журнале Вопросы истории естествознания и техники, №3.

Нужны ли науке религия и вера, иллюзорны ли они или, напротив, выражают ту же объективную истину, что и наука, разве что другими средствами – мы, на самом-то деле, из этой книги так и не узнаем. Более того, некоторые из её героев – даже великий математик Дмитрий Егоров, отец-основатель Московской математической школы и притом глубоко верующий – были уверены, что вера – дело всецело личное и к работе, в том числе научной, не имеет никакого отношения. Вот и Александр Гротендик, "ещё живой, но уже легендарный" французский математик, несмотря на свои мистические взгляды, теснейше переплетённые с его математическими представлениями, тоже утверждает: математики в религии не нуждаются. Да и сами авторы от окончательных и категоричных суждений на сей счёт – охотно признаваясь в собственных симпатиях к рационализму – воздерживаются.

Перевод с английского, совсем новая книга (оригинал — 2009). Биография нескольких французских и русских математиков конца XIX — начала XX века; и история об отношениях математики и религиозного мистицизма. «Центральный сюжет этой книги — соревнование французских и русских математиков, искавших новый ответ на один из старейших вопросов математики — на вопрос о природе бесконечности. Французская школа шла по пути рационалистических решений. Российские же ученые, в частности Дмитрий Егоров и Николай Лузин — основатели знаменитой московской математической школы — руководствовались совсем иными идеями. Они вдохновлялись религиозными прозрениями имяславия — мистического православного движения, заключающегося в особом почитании имени божьего и оформившегося первоначального в среде русских монахов на Афоне. После выдворения имяславцев с Афона в 1913 году они оказались рассеяны по всей России, само же учение, однако, сохранило существенное влияние в среде интеллектуалов. Именно эта религиозная практика и послужила толчком для одного из крупнейших прорывов в математике, позволив русским ученым заглянуть в бесконечное и открыть дескриптивную теорию множеств».

Кто-то из знакомых, ссылаясь на популярный сайт Грамота.ру, поведал мне на днях, что математики в своем кругу называют знак бесконечности - эту поваленную на бок самую дырявую цифру - жопой. Жопой же считали мы, студенты философского факультета МГУ в 90-х, всю эту белибердяевщину и имяславское безумие, делая исключение разве что для Розанова.

В издательстве Гарвардского университета (Harvard University) только что появилась новая книга двух профессоров — американца Лорена Грэхэма (Loren Graham) и француза Жана Мишеля Кантора (Jean-Michel Kantor), — с интригующим заголовком «Имя для бесконечности, или подлинная история математических идей религиозных мистиков» («Naming Infinity: A True Story of Religious Mysticism and Mathematical Creativity»). Авторы её ещё несколько лет назад пришли к убеждению, что создание математиками из Москвы нового направления в теории множеств в начале ХХ века совершенно не случайно. Оно находится в тесной взаимосвязи со своеобразными философскими идеями московских же мистиков, считавших, что верующий почитает не самого бога, а имя бога. Отталкиваясь от философии имени, им удалось прийти к исчислению бесконечностей, на несколько десятилетий обогнав признанных мастеров жанра — французских математиков.

С идеями профессоров Грэхэма и Кантора согласны не все — и среди российских математиков у них есть свои оппоненты. Однако есть повод заново обдумать, как связаны имена и числа перед лицом бесконечности.
Что за цифра там на пряжке?

Детский стишок Маршака начинается на удивление точно:

Кто стучится в дверь ко мне
С толстой сумкой на ремне,
С цифрой 5 на медной пряжке,
В синей форменной фуражке…

В некоторых, совершенно ошибочных редакциях тот же текст передается иначе: «С цифрой „пять“ на медной пряжке…». Ошибка тут в том, что «пять» — это не цифра, а слово, а вот «5», как у Маршака, именно цифра. И V — тоже цифра, хотя и другая. Нас не должно удивлять, что одно и то же число может быть записано и словами, и цифрами.
…Сестричкам из мармеладового колодца удавалось слепить из мармелада такую не мягкую вещь, как мышеловка…  Фото (Creative Commons license): Vicky Brock

А ещё бывает школьный розыгрыш: 10 — это сколько? Суть розыгрыша в том, что при позиционной записи чисел при помощи цифр значение каждой из них определяется не только самими цифрами, но и их положением. И если с первой справа позицией все ясно — это всегда единицы, то следующий разряд может быть каким угодно. Например, в двоичной системе счисления — это двойка, и в таком случае мы имеем просто своеобразно записанное число два. Впрочем, это своеобразие довольно относительно: в любом компьютере двойка записывается именно так. Хотя иногда «10» может означать и восьмерку, если подразумевается восьмеричная система счисления, или даже число шестнадцать, если система счисления шестнадцатеричная — они обе тоже довольно часто применяются в современной информатике.

В отличие от цифр, которых совсем немного, число чисел неисчислимо (прошу прощения за каламбур), поскольку для любого числа есть ещё большее — достаточно добавить единицу. Это правило, интуитивно очевидное, было даже включено в определение натурального ряда и получило название аксиомы Пеано в честь сформулировавшего его итальянского математика Джузеппе Пеано (Giuseppe Peano, 1858–1932). Так же интуитивно тут можно почувствовать некий философский подвох, но все же закрыть глаза на бесконечность ряда натуральных чисел, полагая, что в практической жизни можно ограничиться его конечным куском, положив в качестве «максимального» гугол или стасплекс.

Философские проблемы дают себя знать, когда внутри одной бесконечности вдруг обнаруживается другая. Например, выбирая среди всех чисел только четные, мы снова получим бесконечную последовательность 2, 4, 6, … Для того, чтобы не путаться с бесконечностями, математики стали говорить о множествах и мощностях: множество натуральных чисел, хотя и бесконечно, равно по мощности множеству четных. Это следует из существования простого правила, устанавливающего связь между этими двумя множествами: достаточно разделить на 2 любое четное число или умножить на 2 любое натуральное, чтобы убедиться во взаимной однозначности этого правила.

Похожее правило — только немного более сложное — взаимнооднозначно связывает натуральные числа и со всеми простыми дробями. Иначе говоря, простые дроби тоже можно перенумеровать. А значит, и множество рациональных чисел имеет ту же мощность, что и множество рациональных, то есть и эти две бесконечности «равны» друг другу. Так, может быть, бесконечность едина и все бесконечные множества в этом смысле всегда «равны» друг другу? Но нет: во-первых, иррациональные числа перенумеровать невозможно — и это множество оказывается «больше», чем множество натуральных чисел, — а во-вторых, для любого множества можно построить «большее».